高中数学常用不等式

高中数学中常用的不等式包括：

$a^2 + b^2 \geq 2ab$，当且仅当$a = b$时等号成立。

$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当$a = b$时等号成立。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$，当且仅当$a = b$时等号成立。

$a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$，当$a, b, c$均为正数时等号成立。

$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt{abc}$，当$a, b, c$均为正数时等号成立。

三角不等式：对于任意三角形，其任意两边之和大于第三边。

算术-几何不等式：对于任意非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立。

柯西不等式：对于任意实数序列$a_i$和$b_i$，有$\left（\sum_{i=1}^n a_i b_i\right）^2 \leq \left（\sum_{i=1}^n a_i^2\right） \left（\sum_{i=1}^n b_i^2\right）$。

阿米-格朗瓦尔不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立。

若$x > y$，则$x + z > y + z$（加法原则）。

若$x > y$且$z > 0$，则$xz > yz$；若$x > y$且$zy > 0$，则$x + m > y + n$（充分不必要条件）。

以上不等式在解决高中数学问题时非常有用，掌握它们有助于理解和解决各种数学问题，包括优化问题、概率问题等。