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如何通过判别式判断方程的解是否合理？

在数学领域中，一元二次方程是基础且重要的内容。对于一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0)，我们可以通过判别式 (Δ = b^2 - 4ac) 来判断方程的解的性质。本文将详细介绍如何通过判别式判断方程的解是否合理，帮助读者更好地理解一元二次方程的解的性质。

一、判别式的概念

首先，我们需要了解判别式的概念。判别式 (Δ = b^2 - 4ac) 是一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的一个重要参数。根据判别式的值，我们可以判断方程的解的性质。

二、判别式的性质

当 (Δ > 0) 时，方程有两个不相等的实数解。这意味着方程的解是合理的，因为实数范围内存在两个不同的数使得方程成立。
当 (Δ = 0) 时，方程有两个相等的实数解。这种情况称为“重根”，即方程的解是唯一的，也是合理的。
当 (Δ < 0) 时，方程没有实数解。这意味着方程的解在实数范围内不存在，因此是不合理的。

三、案例分析

为了更好地理解判别式的作用，下面我们通过几个案例进行分析。

案例一：方程 (x^2 - 5x + 6 = 0) 的判别式为 (Δ = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1)。由于 (Δ > 0)，方程有两个不相等的实数解，即 (x_1 = 2) 和 (x_2 = 3)。这两个解是合理的。

案例二：方程 (x^2 - 4x + 4 = 0) 的判别式为 (Δ = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0)。由于 (Δ = 0)，方程有两个相等的实数解，即 (x_1 = x_2 = 2)。这个解是合理的。

案例三：方程 (x^2 + 4x + 5 = 0) 的判别式为 (Δ = 4^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4)。由于 (Δ < 0)，方程没有实数解。这意味着方程的解在实数范围内不存在，因此是不合理的。

四、总结

通过判别式 (Δ = b^2 - 4ac)，我们可以判断一元二次方程的解的性质。当 (Δ > 0) 时，方程有两个不相等的实数解；当 (Δ = 0) 时，方程有两个相等的实数解；当 (Δ < 0) 时，方程没有实数解。通过以上分析，我们可以更好地理解一元二次方程的解的性质，为解决实际问题提供理论依据。