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一元二次方程根的解析式如何求解在数学建模中的实际问题？

在数学建模领域，一元二次方程根的解析式求解是一项基础而重要的技能。它不仅可以帮助我们解决实际问题，还能提高我们的数学建模能力。本文将深入探讨一元二次方程根的解析式在数学建模中的应用，并结合实际案例进行分析。

一元二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。该方程的根可以用以下公式求解：

x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)

这个公式被称为求根公式，也称为二次公式。在实际的数学建模过程中，我们需要根据问题的具体情况，灵活运用这个公式。

1. 案例一：产品定价

假设某公司生产一种产品，成本为100元，售价为x元。根据市场调研，该产品的需求函数为 Q(x) = 50 - x，其中 Q(x) 表示销量。为了实现利润最大化，我们需要找到最优的售价。

首先，建立利润函数：

L(x) = (x - 100) * Q(x)
L(x) = (x - 100) * (50 - x)

然后，将 L(x) 对 x 求导，并令导数等于0，求出 x 的值：

L'(x) = 50 - 2x - 100 + x
L'(x) = -x - 50

令 L'(x) = 0，得 x = -50。然而，这个解不符合实际情况，因为售价不能为负数。因此，我们需要找到一元二次方程的根，即：

x² - 50x + 100 = 0

根据求根公式，我们可以求出：

x₁ = (-(-50) + √((-50)² - 4 * 1 * 100)) / (2 * 1)
x₁ = (50 + √(2500 - 400)) / 2
x₁ = (50 + √2100) / 2

x₂ = (-(-50) - √((-50)² - 4 * 1 * 100)) / (2 * 1)
x₂ = (50 - √(2500 - 400)) / 2
x₂ = (50 - √2100) / 2

经过计算，我们得到 x₁ 和 x₂ 的值。为了使利润最大化，我们应该选择 x₁ 或 x₂ 中的一个作为最优售价。

2. 案例二：投资组合

假设某投资者有10000元，准备投资于两种股票，分别为 A 和 B。股票 A 的预期收益率为 r₁，股票 B 的预期收益率为 r₂。投资者希望找到一个投资比例，使得投资组合的预期收益率最大化。

设投资于股票 A 的金额为 x 元，则投资于股票 B 的金额为 (10000 - x) 元。根据投资组合的预期收益率公式，我们有：

E(R) = (x / 10000) * r₁ + ((10000 - x) / 10000) * r₂

为了找到最优的投资比例，我们需要对 E(R) 求导，并令导数等于0：

E'(R) = (r₁ - r₂) / 10000

令 E'(R) = 0，得 x = (r₁ - r₂) / (r₁ + r₂)。这个解表示投资于股票 A 的金额与投资于股票 B 的金额的比例。

现在，我们需要找到这个比例的根，即：

x² - (r₁ - r₂) / (r₁ + r₂) * x + 10000 * (r₂ - r₁) / (r₁ + r₂) = 0

根据求根公式，我们可以求出：

x₁ = ((r₁ - r₂) / (r₁ + r₂) + √(((r₁ - r₂) / (r₁ + r₂))² - 4 * 10000 * (r₂ - r₁) / (r₁ + r₂))) / 2
x₂ = ((r₁ - r₂) / (r₁ + r₂) - √(((r₁ - r₂) / (r₁ + r₂))² - 4 * 10000 * (r₂ - r₁) / (r₁ + r₂))) / 2

经过计算，我们得到 x₁ 和 x₂ 的值。为了使投资组合的预期收益率最大化，我们应该选择 x₁ 或 x₂ 中的一个作为最优投资比例。

总结

一元二次方程根的解析式在数学建模中具有广泛的应用。通过灵活运用求根公式，我们可以解决实际问题，如产品定价、投资组合等。在实际应用中，我们需要根据问题的具体情况，选择合适的求解方法，以达到最优解。