判别式等于0的一元二次方程根的性质分析

一元二次方程是中学数学中常见的方程类型，其判别式在方程根的性质分析中起着至关重要的作用。本文将深入探讨判别式等于0的一元二次方程根的性质，并结合实际案例进行分析。

一、一元二次方程及判别式

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。方程的根可以通过求解公式得到，即：

x = (-b ± √Δ) / (2a)

其中，Δ表示判别式，即Δ = b^2 - 4ac。

二、判别式等于0的情况

当判别式Δ = 0时，方程的根具有以下性质：

三、性质分析

当判别式Δ = 0时，方程的两个根相等，记为x1 = x2。此时，方程的图像为开口向上或向下的抛物线，且顶点恰好在x轴上。在这种情况下，方程的根具有以下特点：

（1）重根是方程的唯一解，即方程只有一个解；
（2）重根的判别式Δ = 0，满足Δ = b^2 - 4ac = 0；
（3）重根的求解公式为x = -b / (2a)。

（1）当a > 0时，方程的图像为开口向上的抛物线，且顶点在x轴下方。此时，方程的两个根均为负数，即x1 < 0，x2 < 0。因此，方程的根具有以下特点：

①方程的根为负数；
②方程的根的判别式Δ = 0；
③方程的根的求解公式为x = -b / (2a)。

（2）当a < 0时，方程的图像为开口向下的抛物线，且顶点在x轴上方。此时，方程的两个根均为正数，即x1 > 0，x2 > 0。因此，方程的根具有以下特点：

①方程的根为正数；
②方程的根的判别式Δ = 0；
③方程的根的求解公式为x = -b / (2a)。

四、案例分析

【案例1】：求解方程x^2 - 2x - 3 = 0。

分析：将方程化为一般形式，得a = 1，b = -2，c = -3。计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × (-3) = 16。由于Δ = 0，故方程有两个相等的实数根。

解答：根据求解公式，得x = -(-2) / (2 × 1) = 1。因此，方程的根为x1 = x2 = 1。

【案例2】：求解方程x^2 - 4x + 4 = 0。

分析：将方程化为一般形式，得a = 1，b = -4，c = 4。计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0。由于Δ = 0，故方程有两个相等的实数根。

解答：根据求解公式，得x = -(-4) / (2 × 1) = 2。因此，方程的根为x1 = x2 = 2。

五、总结

判别式等于0的一元二次方程根的性质分析，主要表现在方程有两个相等的实数根，且根的求解公式为x = -b / (2a)。通过分析不同情况下方程根的性质，我们可以更好地理解一元二次方程的解法。在实际应用中，熟练掌握这些性质对于解决相关数学问题具有重要意义。